在磁場導向控制（Field-Oriented Control，FOC）演算法中，Clarke 轉換（Clarke Transformation） 是實現三相變數簡化與解耦控制的核心座標轉換步驟。其主要功能是將三相靜止座標系（abc Coordinate System）中的電流、電壓等物理量轉換至二相靜止座標系（αβ Coordinate System），為後續轉矩（Torque）與磁通（Flux）的獨立控制建立基礎。
PMSM 無感測器磁場導向控制（FOC）核心架構
1. Clarke 轉換的物理背景與座標定義
Clarke 轉換是 FOC 演算法中的第一階段預處理（Preprocessing）。透過將三相靜止座標系中的變數映射至二相靜止座標系，實現降維（Dimensionality Reduction）與解耦（Decoupling），並為後續 Park 轉換以及轉矩／磁通解耦控制提供數學基礎。下圖展示了由 3D 三維系統簡化為 2D 二維系統的過程。
圖片來源：Microchip
左側：三相靜止座標系（abc Coordinate System）
此座標系對應馬達定子的三相繞組（a、b、c 相），三個繞組在空間中以 120° 電角度對稱分布（圖中 a、b、c 軸之間的夾角均為 120°）。
在實際控制中，三相電流 ia、ib、ic 在此座標系中彼此耦合，並滿足三相平衡條件：
ia + ib + ic = 0
右側：二相靜止座標系（αβ Coordinate System）
αβ 座標系是一個虛擬的二維座標系：
- α 軸與 a 相繞組軸線重合，並保持固定不動。
- β 軸與 α 軸垂直，且相位超前 α 軸 90°。
- α 軸與 β 軸均固定於空間中，不受馬達轉子旋轉影響。
2. 數學原理與轉換公式
Clarke 轉換的核心在於利用數學公式將三相變數映射至二相座標系，同時確保轉換前後功率保持一致。
輸入（Input）
三相電流中的任意兩相即可作為輸入，例如： ia, ib
由於根據三相平衡條件可推導：
ic = -ia - ib
因此無需額外量測第三相電流。
輸出（Output）
轉換後可得到：
- α 軸電流 iα：直接對應於 a 相電流。
- β 軸電流 iβ：由 a 相與 b 相電流合成的垂直分量。
3. Clarke 轉換在 FOC 中的核心作用
Clarke 轉換在 FOC 中主要具有以下兩項重要功能：
降維與解耦（Dimensionality Reduction and Decoupling）
Clarke 轉換可將原本複雜的三相變數（3 個相互耦合的量）轉換為二維變數（2 個獨立變數），大幅降低控制演算法的複雜度。
例如，控制器不再需要同時處理三相電流的動態變化，而只需控制：
- iα
- iβ
即可完成後續運算。
為後續轉換建立基礎（Laying the Foundation for Subsequent Transformations）
經過 Clarke 轉換後所得到的 iα 與 iβ 仍屬於靜止座標系中的變數。
後續可透過 Park 轉換（Park Transformation），將其轉換為與轉子同步旋轉的 dq 座標系：
- id：磁通分量（Flux Component）
- iq：轉矩分量（Torque Component）
最終實現轉矩與磁通的獨立控制（Independent Control of Torque and Magnetic Flux），其控制概念類似於直流馬達中的電樞控制與勵磁控制。
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