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前回の記事では、完全に平衡が取れた左右対称の相補型ロードセルについて、次のことが示されました。
ここで、Rsはスパン補償抵抗、 Roは静止歪ゲージ抵抗（ゼロ荷重時の定格出力抵抗に等しい）、Rfは加えられた荷重による変化分である付加抵抗/減算抵抗です。
なお、信号出力に接続される負荷は、影響が無視できるほど高インピーダンスであると仮定しています。
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対称性を利用してRfを計算する
要求されるのは、次の定格を有する実際のロードセルを検討することです。
- ゼロ荷重時の出力抵抗（Ro ）、これはまた各歪ゲージの静止抵抗にも相当します。
- スパン補償抵抗（Rs）。
- 負荷範囲（lbfmax ）、これは動作時の力で、例えば100 lbfセル。
- フルスケール出力スパン（Vfsos）、これは最大荷重時の励起1Vあたりの信号電圧です。
このことは後述しますが、適切なロードセルモデルを作成するために解く必要のある唯一の未知数がRf であることを意味します。
上記の回路表現において、いくつかの要素を再びラベル付けし、負の励起リードを回路グランドとみなすと便利です。
さて励起電圧をVin、プラス側とマイナス側の出力信号電圧をそれぞれ Va、Vbとすると、出力電圧はVout = Va - Vbとなります。この場合は、完全に平衡した対称的な相補型ロードセルの場合であり、回路の対称性を利用して、代数をより単純化することができます。キルヒホッフの電流法則と4つのブリッジ歪ゲージ抵抗の対称性により、3つの未知電流は次のような関係になります。
Vout = Va - Vbなので、キルヒホッフの電圧法則を適用してVaとVbを求め、eq 1（式1）と合わせてI2とI3に代入すると、次のようになります。
入力抵抗値はすでに分かっているので、I1はオームの法則で簡単に書くことができます。
eq 3（式3）をeq 2（式2）に代入し、Rfを解くと次のようになります。
Vout/Vinは単に伝達比であり、データシートはフルスケール出力スパンVfsosと最大負荷定格lbfmaxを介してこれを実質的に示しています。Vfsosは、実際に印加される力lbfappとlbfmaxの比率で単純にリニアにスケーリングする必要があります。
eq 5（式5）をeq 4（式4）に代入すると、次のようになります。
上記のMathcadファイルをご希望の方は、こちらからダウンロードできます。
Load_Cell_Symmetry.mcdx (111.2 KB)
対称性に関する別の興味深い結果
Eq 6（式6）は実際にシミュレーション モデルで求めているものですが、このようなロード セルの完全に平衡のとれた対称的な相補型の性質から生じる別の側面を理解するのに少し時間をかける価値があると思います。eq 4（式4）からRfは実際には伝達率に入力抵抗を掛けただけのものだと考えてください。この式を並べ替えると、異なる見方ができます。
このように整理し、回路内のさまざまなRfの加算値/減算値が実際にはRin の一部であることを考えると（それらは互いに打ち消し合いますが、Rinの一部です）、単純な分圧の式と見なすことができます。ここで、出力電圧は、単一のRfの両端に生じる入力電圧の一部です。
このため、なぜだろうと考えさせられましたが、ホイートストンブリッジのそれぞれの足の実際の抵抗値の変化は2Rfであり、入力抵抗の観点からは2本の足は互いに並列であり、(2Rf) || (2Rf) = Rfと考えると、その関係がより明らかになりました。
これと同じ関係は、別の形でも見ることができます。eq 2（式2）において、実質的に書かれているのは
、そしてもちろん 
です。
非常に頭の良い人なら、最初からRfの式を書き、計算を回避できたかもしれませんが、残念ながら、その非常に頭の良い人は私ではありません。
他の計算方法
もちろん、Rfを同じ式で求める方法は他にもあります。もしあなたが私のように頑固で、自分のやり方に固執しているのなら、ノード解析から始めるかもしれません。最初の目的は、2つのノード電圧VaとVbを求めることが目的だったので、その時は十分理にかなっていました。この方法はお勧めしませんが、代数がどのようにひどくなるのか気になる方は、こちらのMathcadファイルでご覧ください。
Load_Cell_Nodal.mcdx (149.6 KB)
もう少し賢い人なら、メッシュ解析を使うでしょう。結局のところ、4つの未知のノード電圧がありますが、未知のメッシュ電流は2つしかないのです。この方法では、代数はそれほどひどくありませんが、それでも上で使った対称性のアプローチほど単純ではありません。Mathcadファイルはこちらです。
Load_Cell_Mesh.mcdx (131.9 KB)
アンプなしロードセルのモデル
LTspiceで作成した次のアンプなしロードセルのモデルは、こちらからダウンロードできます。
UnamplifiedLoadCellModel.asc (1.4 KB)
ユーザーが設定しなければならないパラメータは次の通りです。
- lbf_appは、シミュレーションのためにロードセルにかかる力の大きさを設定（または掃引）することを意図しています。
- lbf_maxはセルの最大定格動作力（例えば100 lbfのセル）です。
- Vfsosはフルスケール出力スパン（最大負荷時の励起電圧1Vあたりの信号電圧）です。
- Roは無負荷時の出力抵抗で、また各歪ゲージの静止抵抗にも等しくなります。
- Rsは、スパン補償抵抗がある場合はその値（ない場合は0に設定可）です。
デフォルトの数値は、 Measurement Specialties FX1901-0001-0100-L圧縮ロードセルが最大荷重のときのものです。
このようにロードセルをモデル化することで、ロードセルが接続された励起電圧に対する電気負荷として、また信号出力に接続された電気負荷によってどのように異なる挙動を示すかについて、シミュレーションを忠実に再現することができます。lbf_appを調整したときの電気機械的な挙動は、モデルに非線形性がなく、温度による変化やドリフト、クリープ、ヒステリシスなどの二次的な機械効果も考慮されていないため、「理想的」なものとなっています。圧縮や伸張が可能なロードセルに対して、加える力は正でも負でも構いませんが、当然ながらシミュレーションするロードセルの定格範囲内の値にしてください。
アンプなしロードセルのモデルを試験する
LTspiceによるアンプなしロードセルモデルの簡易テストは、こちらからダウンロードできます。
UnamplifiedLoadCellModel_Test.asc (1.3 KB)
図のように、励起電圧は単純な5V電源で、信号出力は無負荷です。この条件下で期待される理想的な動作は、X軸がlbf_appであるプロット出力に示されています。
電圧依存の電源をなぜ使わないのか？
ロードセルのシミュレーションを行おうとする人の多くは、まず単純な電圧依存型の電源のアイデアから始めるのではないでしょうか（私が実際そうでした）。粗い近似値で十分な場合は、それで十分かもしれませんが、欠点があります。ほとんどの欠点は、モデルをもう少し複雑にすることで補うことができますが、すべてではありません。
単電圧依存型の電源だけを考えた場合、まず大きな欠点は、差動ではなくシングルエンドの出力源として動作してしまうことです。
でも、もう少し賢く、適切に接続・調整された2つの電圧依存型の電源を使えば、差動出力を得ることもできます。
しかし、これはGND付近の差動動作であり、厳密には励起電圧の半分程度の差動動作であるはずなので、適切なDCオフセットを提供するために別の電圧依存型電源を追加するか、あるいはそれらを含む既存の2つの伝達方程式を修正して、もう少し複雑にして設定したいと思われるかも知れません。
これで、見栄えが良くなりました。もちろん、シミュレーションの励起電圧の電源が何であれ、ロードセル自体が提示する負荷を確認したい場合もあります（信号出力に接続される負荷を考慮することはより困難です）。これをうまく実現するのは難しいのですが、ロードセルの入力抵抗の式があるので、必要なパラメータと一緒に単純な抵抗を追加して、これを何とか近似することはできます（たぶん十分でしょう）。
もちろん、入力抵抗を単純化しすぎたので、出力抵抗も同じようにするのが最善です（実際の励起電圧源からの電源インピーダンスを考慮するのはより困難です）。ここでもやはり、ロードセルの出力抵抗の式があるので、必要な追加パラメータとともに単純な抵抗（実際には差動バランスを保つために2つ）を追加して、これを同様に何とか近似させることができます。
さて、これでそれほどひどくはないモデルができました。十分に高いインピーダンスの信号負荷であれば、励起電圧源に期待される入力インピーダンスに近いものを提示することができます。また、励起電圧源の出力インピーダンスが十分に低ければ、接続された信号負荷に対して期待される出力インピーダンスに近い値を示すことができます。
確かに、入出力の抵抗値は、励起と信号のリード線に接続されているものに対して（現実には調整されるように）自動的に調整されませんし、励起電圧源と、依存型電圧源を介した信号出力の間には誤った（つまり現実には存在しない）バッファが存在します。そして確かに、このモデルは実生活に忠実でないことに加え、セットアップが複雑で、直感的に理解することもできません。しかし・・・しかし・・・待てよ、この議論はどこに行くんだったっけ？
要するに、ロードセルのモデリング方法としては、前項で挙げた理由により、以前提供されていた方法ほど良くはありません。
アンプなしロードセルのモデルの比較
電圧依存型電圧源モデルの欠陥を簡単に示すために、次の例で、両方の増幅されていないロードセルモデルの信号出力に、グランドへの100k抵抗と100kの差動抵抗で適度に負荷をかけた場合を考えてみましょう。
結果には微妙な違いがあります。差動出力電圧はほとんど全く変わらない（わずかに違う）のですが、グランドに対する出力信号電圧は、信号負荷の増加により、本来の理想値（無限大の負荷抵抗）から15mVほどさらに下にずれています。これは、電圧依存型電圧源モデルのソースは、実際にもそうであるように励起電圧の代わりに依存源から電流を出力するためです。同じ理由で、電圧依存性電圧源モデルの励起電圧の出力電流は25uAほど少なく、印加力が大きくなっても30nAの穏やかな下降現象は見せません。アプリケーションでは15mV、25uA、40nAを気にしないかもしれませんが（おそらく気にしない）、アプリケーションの励起電源や信号負荷がもっと影響を与えるとしたらどうでしょうか？なぜ、自分では気づかない、あるいは思いもよらない問題を発見できる可能性が高く、しかも自分にとってもわかりやすいモデルを使いたくないのでしょうか？
もしあなたがただ問題を解くのが好きなタイプなら、電圧依存型電圧源モデルを改良して、より忠実に再現する方法を探してみるのも少し楽しいかもしれません。もしご希望であれば、参考のために上述のLtspiceモデルはこちらからダウンロードできます。
UnamplifiedLoadCellModel2_Test.asc (1.6 KB)
ただ、オリジナルの抵抗のみのモデルでは、これらの問題はすでに解決されており、新たな複雑な問題は発生していません。
アンプ付きロードセルのモデル
LTspiceで作成した以下のアンプ付きロードセルモデルは、こちらからダウンロードできます。
AmplifiedLoadCellModel.asc (2.7 KB)
ユーザーが設定しなければならないパラメータは次の通りです。
- lbf_appは、シミュレーションのためにロードセルにかかる力の大きさを設定（または掃引）することを意図しています。
- lbf_maxはセルの最大定格動作荷重（例えば100 lbfのセル）です。
- Vfsosはアンプなしのホイートストンブリッジのフルスケール出力スパン（最大負荷時の励起1Vあたりの信号電圧）です。
- Vexcはデータシートで規定された動作電圧であり、その電圧でVspanとVoが規定されます。
- VspanはVexcを動作電源としたときのデータシートで規定された増幅出力電圧の幅です。
- VoはVexcを動作電源としたときの増幅されたゼロフォース出力電圧（0の場合は0に設定可）です。
- Roはホイートストンブリッジの無負荷時の出力抵抗で、また各歪ゲージの静止抵抗に等しくなります。
- Rsは、スパン補償抵抗がある場合はその値（ない場合は0に設定可）です。
- Routは増幅出力における出力抵抗（指定がない場合は試験、計算により求めるか、または0に設定）です。
- Iqは増幅回路の静止時電流（指定がない場合は試験、計算で求めるか、または0に設定可）です。
デフォルトの数値は、Measurement Specialties FC2231-0000-0100-L圧縮ロードセル（RoutとIqを除く）の最大荷重時のものです。
この方法でロードセルをモデリングすることは、本質的に、ほとんどのロードセルメーカーがデータシートに増幅回路の詳細について（実際のSPICEモデルはおろか）ほとんど情報を提供していない（意図的と思われる）事実に対する回避策の作業となります。lbf_app を調整したときの電気機械的な挙動は、モデルに非線形性がなく、温度による変化やドリフト、クリープ、ヒステリシスなどの二次的な機械的効果も考慮されていないため「理想的」なものとなっています。アンプの電気的な挙動も同様に、モデルには非直線性がなく、温度による変化や実際の増幅回路に固有の非理想的な電気的挙動を考慮していないため、「理想的」です。圧縮や伸張が可能なロードセルであれば、加えられる力は正でも負でも構いませんが、当然ながらシミュレーションするロードセルの定格範囲内の値にしてください。
このモデルは出力が依存型電圧源に基づいているので、範囲外や無意味な数値をパラメータに入れると、Exc+電圧より上やExc-電圧より下に振れる可能性がありますが、もちろん現実にはありえません。また、実際の増幅回路が動作するためには、ある最低電圧を必要とし、ある最高電圧で動作しなくなったり、破損したりしたとしても、励起リード線に任意の電圧を接続して出力を得ることが可能です。つまり、現実的なパラメータでないと、無意味なものが入ってきて、無意味なものが出てくるということです。
アンプ付きロードセルのモデルを試験する
LTspiceによるアンプ付きロードセルモデルの簡易テストは、こちらからダウンロードできます。
AmplifiedLoadCellModel_Test.asc (2.3 KB)
励起電圧は単純な3.3V電源です。Vexc、Vspan、Voのパラメータは、データシートに記載されている5Vの数値から調整する必要がないことに注意してください。これらのパラメータは、電源に対して比率が決められており、モデルが自動的に調整するためです。また、出力に負荷がかかったときのモデルの動作の変化をより明確に示すために、Rout（100Ω）とIq（1mA）にやや大きい任意の値を意図的に入れていることに注目してください。
この条件下で期待される理想的な動作をプロット出力に示します。X軸はlbf_appです。 左側に示す負荷がオープンの回路のプロットでは、出力電圧が励起電圧のちょうど10%から90%まで振れるので、励起電源は静的な2.1mAの負荷を見ていることになります。右側のプロットでは、出力が1kΩの負荷の場合、出力電圧が300mVから2.7Vに振れると同時に、励起電源は2.4mAから4.8mAへと直線的に負荷が増加していることが分かります。これは、Routに電圧低下が生じることで予想されます。
オプション：RoutとIqの試験および計算方法
アンプ付きロードセルの場合、Voutワイヤ自体の抵抗（もちろん温度によって変化します）がRoutの主成分となる場合がありますが、非常に長く細い線でない限りあまり問題になることはないでしょう。例えば、30フィートの32ゲージワイヤは室温で約5Ωですが、市販のロードセルでよく見られる3フィートの22ゲージワイヤは1/20Ωしかないでしょう。しかし、他にも未知の主要な要因があるかもしれませんし、Routを定量化する必要があるのであれば、そのプロセスはシンプルです。ロードセルを励起電源に接続し、最大定格の力を加えて最大電圧を出力するのが理想です（電圧が大きいと測定するヘッドルームが大きくなります）。出力をオープンにしてVoutを測定し、出力に負荷をかけながらもう1回測定します（ヘッドルームのために、やはり電流は大きい方が良いですが、もちろんロードセル出力に負荷をかけ過ぎないようにします）。その後は、単純な2本の抵抗の分圧を逆算して、足りない抵抗を見つけるだけです。
Iqは十分正確な低電流計があればもっと簡単です。Voutをオープンにして、励起電圧電源からの電流を測定します。ここで、簡単なオームの法則の計算をして、ホイートストンブリッジ回路に流れていることが分かっている分（励起電圧をホイートストンブリッジの入力抵抗で割ったもの）を差し引くと、残るのはIqです。
ロードセルのデータシートに直接規定されていない場合、ホイートストンブリッジの入力抵抗Rin の式は、このページの上部にあることを思い出してください。また、その説明は、前回のアナログビットの記事で見ることができます。
完璧な世界でのアンプ付きロードセルのモデル
もし世界が完璧であったら、ロードセルメーカーから提供されたモデルを使うことをお勧めします（ほぼ確実に提供されません）。もしくは、増幅回路の回路図と部品表の提供をロードセルメーカーに依頼して自分で作るか（メーカーが提供する可能性は極めて低いです）、あなたや私、他の誰かが1つのロードセルを犠牲にし、分解して全体を分析・調査（リバースエンジニアリング）することを勧めるでしょう（トラブルに見合うだけの価値はないので、そのロードセルメーカーの競合他社に勤めていない限り誰もしないでしょう）。そのため、多くの電気メーカーと同じように、ロードセルメーカーは経済的な損得勘定から、競合他社は「どうせわからないだろう」という誤った推測で、貴重な情報を顧客から隠しているのです。話が脱線してしまいました。
上記のようなことを実際に実現することはできないので想定しながら、さらに良いモデルになるような例を挙げてみたいと思います。例えば、あるアンプ付きロードセルの内部詳細がすべてわかったとしましょう。そうしたら、できるだけ正確にモデル化して、次のようにします（繰り返しますが、私のモデルはフィクションです。オフセットのE1とE2に依存するソースは決定的な証拠です）・・・
この場合、架空のロードセルには、ゲインを40に設定したLTC2053計装用アンプを使用します。これは、完全な依存型の電源モデルでは失われる重要な動作を明確に示すために選んだものです。問題となる主な動作は、LTC2053のスイッチング入力が、333usごと（デフォルト）にホイートストンブリッジからの入力信号電圧をコンデンサを介してサンプリングすること、起動時に出力電圧が実際に高くなること、そして、出力がプラス電源に近づくほど悪化する比較的長い出力セトリング時間が存在することです。実際、スイッチング入力の性質上、DC動作点のシミュレー ションは無意味であり（LTspiceでは警告さえ出るほどです）、lbf_appを掃引すると出力が落ち着くような十分長い時間での過渡現象のシミュレーションを行わなければなりません。
このロードセルは架空のものですが、もし実際のロードセルが、依存型の電源に完全に基づき、以前提供されたモデルで必然的に失われる同じような挙動を示すとしたら、そのロードセルのユーザーはこのことを理解し、利用されている「より理想的な」モデルで失われるすべての挙動を理解しなければならないでしょう。残念ながら、世界は完璧ではありませんし、どんなモデルもそうです。
単一電源をなぜ使用しないのか？
それはただの怠慢でしょう？
つまり、自分の作品に少しはプライドを持てということです。そう、可能な限り最も高速でダーティなモデルに対して使用することができますが、接続する相手に応じて動的に調整することはできません。励起接続がないのです！基本的には、アンプなしロードセルに単一の電圧依存型電源を使用しないことを説明したのと同じ理由で、この方法は使用しないでください。
ロードセルに関する追加情報へのリンク
Rice Lake Load Cell Handbook - ロードセルの理論、種類、構造、選択、測定・変換、トラブルシューティング、用語などに関する多くの良い情報が掲載されています。
SparkFun’s Getting Started with Load Cells - ロードセルの「完璧なバランスと対称的な補完関係」が実際にどのように機能するかを理解するのに役立つ、非常に素晴らしいビジュアルがここにあります。
Load Cell Error Theory - 実際のロードセルにおけるいくつかの誤差の原因について説明しています。